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| Imagen de congerdesign en Pixabay |
La próxima vez que te sientes a resolver un rompecabezas, trae tu calculadora; es posible que la necesites.
Las matemáticas tienen fama de ser un tema seco, apto sólo para cerebritos y... eh... ¿agentes del FBI? Pero la verdad es que los matemáticos son personas divertidas y geniales, que disfrutan de las fiestas de máxima eficiencia y de los divertidos juegos de palabras como el resto de nosotros.
¿Y qué es lo más rudo que puede hacer una persona? Así es: rompecabezas. Por lo tanto, no es de extrañar que los matemáticos hayan centrado su atención en este pasatiempo, ofreciendo una respuesta a la pregunta que acosa a los acertijos en todo el mundo: ¿exactamente qué tamaño de mesa necesitas para colocar tu sierra?
Bueno, está bien, técnicamente no fueron matemáticos, sino un biofísico y un físico cuántico experimental. "Mi marido y yo estábamos haciendo un rompecabezas un día", dijo a New Scientist Madeleine Bonsma-Fisher, postdoctorada de la Universidad de Toronto, "y me preguntaba si se podría estimar el área que ocupan las piezas antes de colocarlas". el rompecabezas juntos”.
El resultado: un pequeño y ordenado artículo, de apenas seis páginas, que toma el concepto de empaque circular óptimo y lo aplica a la actividad favorita de su abuela en los días de lluvia. (Vale la pena señalar que, si bien es solo una preimpresión y, por lo tanto, no está revisada por pares, los cálculos de geometría utilizados en el artículo son bastante básicos y es poco probable que sean incorrectos).
"La gente ha estado interesada en organizar círculos en 2D durante mucho tiempo", dijo Bonsma-Fisher a Popular Mechanics, "y ahora se sabe que organizar círculos en una red hexagonal es la forma más precisa posible de organizarlos en una superficie 2D, donde el El objetivo es tener los espacios más pequeños posibles entre círculos”.
"Esta es también la razón por la que los panales tienen la forma que tienen", señaló. "Las abejas en realidad forman células circulares, pero éstas quedan aplastadas formando una red hexagonal, [que es] la forma más eficiente de aplastar círculos".
La idea es la siguiente: para que una mesa contenga cada pieza de un rompecabezas, debe ser lo suficientemente grande como para que quepan esa cantidad de círculos a lo largo de ella. Esto puede sonar extraño (después de todo, las piezas de un rompecabezas generalmente no son circulares), pero hay un método en esta locura: los Bonsma-Fishers no buscan el área mínima absoluta necesaria para encajar todas las piezas, sino “el área que ocupan las piezas cuando no se presta mucha atención a la orientación o posición de las piezas”, explicó.
Es menos eficiente desde el punto de vista espacial, pero tiene más sentido para un solucionador de acertijos humano. Al considerar cada pieza como un círculo en lugar de una aproximación más cercana, tenemos espacio para rotar, mover o intercambiar varias piezas y, de hecho, ya sabes, resolver el problema.
Entonces, ¿cuál es la respuesta? Bueno, todo se reduce a ese patrón de mosaico hexagonal. Si lo dibujamos, podemos ver que cada hexágono tiene un área aproximadamente tres veces mayor que la de una “pieza de rompecabezas” circular: está la completa en el medio y luego seis tercios alrededor del borde.
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| Círculos empaquetados en una disposición de embalaje hexagonal. Crédito: carga inductiva, dominio público, a través de Wikimedia Commons |
Ahora, el área de un hexágono regular es 3√3/2 por d2, donde d es la longitud de los lados. Entonces, ¿qué es? Bueno, podemos ver en el diagrama que es el diámetro de uno de los círculos o, en términos de piezas de rompecabezas, la diagonal que atraviesa una pieza.
Suponiendo que cada pieza es (aproximadamente) un cuadrado, entonces, d será la hipotenusa de un triángulo rectángulo con dos lados iguales más cortos de longitud √ (Área de todo el rompecabezas/Número de piezas del rompecabezas). Usando el teorema de Pitágoras, esto significa que d2 es igual al doble del área del rompecabezas dividida por el número de piezas.
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| El teorema de Pitágoras establece que a^2 + b^2 = c^2... o en este caso, d^2. Crédito: Leonardo Da Vinci, dominio público, editado por IFLScience |
Entonces, la cantidad total de espacio necesario es igual al número de piezas N multiplicado por el área de una pieza. Esa pieza, si recuerdas, es aproximadamente un tercio del área de un hexágono en esta configuración reticular, que, a su vez, es igual a 3√3/2 veces d2. En otras palabras,
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| Para quienes toman notas. Crédito: IFLSience |
La respuesta final: raíz 3. “El área del rompecabezas sin ensamblar es simplemente √3 veces el área del rompecabezas ensamblado, independientemente del número de piezas”, escriben los Bonsma-Fishers en su artículo.
Solo para asegurarse, la pareja verificó su fórmula en nueve rompecabezas, que van desde uno de 9 piezas hasta uno de 2000 piezas. Funcionó perfectamente: "Encontramos una estrecha concordancia entre las mediciones realistas y nuestra predicción teórica en una amplia gama de áreas y números de piezas del rompecabezas", escribieron los dos, antes de presentar evidencia fotográfica de un rompecabezas de 1008 piezas completo.
Ahora lo sabemos: si quieres suficiente espacio para todas las piezas de tu rompecabezas, asegúrate de que tu superficie sea aproximadamente 1,73 veces el área de tu rompecabezas, aunque "si realmente quieres colocar todas tus piezas en posición horizontal y estar cómodo", Bonsma -Fisher le dijo a New Scientist, “tu mesa debe ser un poco más del doble del tamaño de tu rompecabezas de muestra”.
El artículo se puede encontrar en ArXiV.